Démontrer que, quel que soit l'indice n, la fraction : est irréductible.

Prove that is irreducible for every natural number n.

Solution N°1.

Énoncé N°2.

Pour quelles valeurs réelles positives de x les équations :

a) +  =  ,

b) +  = 1,

c) +  = 2, sont-elles vérifiées ?

For what real values of x is +  = A,
given (a) A =,   b) A = 1, (c) A = 2, where only non-negative real numbers are allowed in square roots and the root always denotes the non-negative root ? 

Solution N°2.

Énoncé N°3.

Soient a, b, c des réels quelconques et x un réel satisfaisant à l'équation : acos²x + bcosx + c = 0. Former une équation du second degré vérifiée par cos2x. Comparer les deux équations lorsque : a = 4, b = 2 et c = -1.

Let a, b, c be real numbers. Given the equation for cos x : a cos²x + b cos x + c = 0, form a quadratic equation in cos 2x whose roots are the same values of x. Compare the equations in cos x and cos 2x for a = 4, b = 2, c = -1.

Solution N°3.

Énoncé N°4.

Construire un triangle rectangle, connaissant l'hypoténuse c, et sachant que la médiane issue du sommet de l'angle droit est moyenne géométrique des deux côtés de l'angle droit.

Given the length |BC|, construct a triangle ABC with angle BAC = 90 degrees, and the median AI satisfying AI² = AB.AC.

Solution N°4.

Énoncé N°5.

Soit M un point appartenant à un segment [AB]. On construit du même côté de la droite (AB) les carrés AMCD et MBEF. Les cercles circonscrits à ces carrés, de centres respectifs P et Q, se coupent en M et N (appelons C_P le premier et C_Q le second). Soit N' le point d'intersection des droites (AF) et (BC).

a) Démontrer que les points N et N' coïncident.

b) Démontrer que quelque soit M la droite (MN) passe par un point fixe.

c) Déterminer l'ensemble des milieux des segments [PQ] lorsque M décrit le segment [AB].

An arbitrary point M is taken in the interior of the segment AB. Squares AMCD and MBEF are constructed on the same side of AB. The circles circumscribed about these squares, with centers P and Q, intersect at M and N.
(a) prove that AF and BC intersect at N;
(b) prove that the lines MN pass through a fixed point S (independent of M);
(c) find the locus of the midpoints of the segments PQ as M varies.

Solution N°5.

Énoncé N°6.

Soient P et Q deux plans sécants suivant une droite d. Soit d'autre part un point A appartenant à P et un point C appartenant à Q, ces deux points n'appartenant pas à la droite d. Construire un trapèze isocèle ABCD (avec (AB) et (CD) parallèles), dans lequel on peut inscrire un cercle tel que le point B appartienne à P et que le point D appartienne à Q.

The planes P and Q are not parallel. The point A lies in P but not Q, and the point C lies in Q but not P. Construct points B in P and D in Q such that the quadrilateral ABCD satisfies the following conditions: (1) it lies in a plane, (2) it is convex with the vertices in the order A, B, C, D, (3) (AB) is parallel to (CD), (4) AD = BC, but (AD) is not parallel to (BC), and (5) a circle can be inscribed in ABCD touching the sides.

Solution N°6.