Déterminer tous les nombres de trois chiffres dont le quotient par 11 est égal à la somme des carrés des trois chiffres.

( Determine all 3 digit numbers whose quotient by 11 is equal to the sum of the squares of the 3 digits.)

< 2x + 9 est-elle vérifiée ?
( For what values of x does the following inequality hold :  

Etant donné un triangle rectangle ABC dont l'hypoténuse [BC] est divisée en n parties égales, n étant un entier impair, on désigne par a la mesure de l'angle de sommet A dont les côtés passent par les extrémités du segment central, par h la hauteur et a l'hypoténuse.

Démontrer alors la relation : tan a = .

( In a given right triangle ABC, the hypotenuse BC, length a, is divided into n equal parts with n an odd integer. The central part subtends an angle a at A. h is the perpendicular distance

from A to BC. Prove that : tan a = )

Énoncé N°4.

Construire un triangle ABC connaissant les deux hauteurs issues de A et B et la longueur de la médiane issue de A.

(Construct a triangle ABC given the lengths of the altitudes from A and B and the length of the median from A.)

Énoncé N°5.

Etant donnés le cube ABCDA'B'C'D' (avec A à la verticale de A', B à la verticale de B', etc...), X un point quelconque de la diagonale [AC] et Y de la diagonale [B'D'].
(a) Déterminer le lieu géométrique du milieu de [XY].
(b) Déterminer le lieu géométrique du point Z du segment [XY] tel que ZY = 2XZ.

(The cube ABCDA'B'C'D' has A above A', B above B' and so on. X is any point of the face diagonal AC and Y is any point of B'D'. (a) find the locus of the midpoint of XY; (b) find the locus of the point Z which lies one-third of the way along XY, so that ZY=2XZ.)

Énoncé N°6.

Etant donnés un cône de révolution, la sphère inscrite dans le cône, le cylindre circonscrit à la sphère dont la base est dans le même plan que la base du cône, V₁ le volume du cône et V₂ celui du cylindre. Démontrer que V₁ ¹ V₂ . Déterminer la plus petite valeur pour V₁/V₂ et construire dans ce cas l'angle au sommet du cône.

( A cone of revolution has an inscribed sphere tangent to the base of the cone (and to the sloping surface of the cone). A cylinder is circumscribed about the sphere so that its base lies in the base of the cone. The volume of the cone is V₁ and the volume of the cylinder is V₂.
(a)  Prove that V₁ ¹ V₂;
(b)  Find the smallest possible value of V₁/V₂. For this case construct the half angle of the cone.)

Énoncé N°7.

Etant donnés un trapèze isocèle ABCD ( (AB) // (DC) et BC = AD), AB = a, CD = c et h la distance de A à la droite (CD). Construire les points X de l'axe de symétrie de ABCD de telle sorte qu'une mesure de l'angle BXC = une mesure de l'angle AXD = 90°. Déterminer les distances de X aux bases et discuter les conditions d'existence des points X.

( In the isosceles trapezoid ABCD (AB parallel to DC, and BC = AD), let AB = a, CD = c and let the perpendicular distance from A to CD be h. Show how to construct all points X on the axis of symmetry such that angle BXC = angle AXD = 90^o. Find the distance of each such X from AB and from CD. What is the condition for such points to exist?)