 Énoncé N°1.
 Déterminer le plus petit entier naturel n ayant 6
pour chiffre des unités et tel que si le 6 est placé devant n le nombre obtenu b vaut
4n, le chiffre des unités de b étant celui des dizaines de n.
( Find the smallest natural number with 6 as the last digit, such
that if the final 6 is moved to the front of the number it is multiplied by 4.)
Énoncé N°2.
Résoudre l'inéquation suivante :  -  >  .
( Find
all real x satisfying : - > . )
Énoncé N°3.
Soit un cube ABCDA'B'C'D' avec ABCD face supérieure,
A'B'C'D' face inférieure, A au-dessus de A', B au-dessus de B', etc... Le point x
parcourt à vitesse constante le pourtour du carré ABCD et le point Y parcourt à la
même vitesse le pourtour du carré B'C'CB. Les points X et Y se mettent en mouvement au
même instant à partir respectivement des points A vers B et B' vers C'. Quel est
le lieu géométrique du milieu Z du segment [XY].( The cube ABCDA'B'C'D' has upper face ABCD and lower face A'B'C'D'
with A directly above A' and so on. The point X moves at constant speed along the
perimeter of ABCD, and the point Y moves at the same speed along the perimeter of B'C'CB.
X leaves A towards B at the same moment as Y leaves B' towards C'. What is the locus of
the midpoint of XY ?)
Énoncé N°4.
Déterminer les solutions réelles de l'équation :
cos2x + cos22x + cos23x = 1.
( Find all real
solutions to cos2x + cos22x + cos23x = 1.)
Énoncé N°5.
Etant donnés trois points distincts A, B et C d'un
cercle K, construire un point D sur K, tel qu'un cercle puisse être inscriptible dans
ABCD.
( Given three distinct points A, B, C on a
circle K, construct a point D on K, such that a circle can be inscribed in ABCD.)
Énoncé N°6.
Etant donnés R le rayon du cercle circonscrit à un
triangle isocèle et r le rayon du cercle inscrit à ce même triangle, démontrer que d2
= R(R - 2r) avec d = OI, O centre du cercle circonscrit et I celui du cercle inscrit.
( The
radius of the circumcircle of an isosceles triangle is R and the radius of its inscribed
circle is r. Prove that the square of the distance between the two centers is R(R - 2r). )
 Solution
N°6.Il s'agit en fait d'un cas particulier de la formule d'Euler.
Énoncé N°7.
Démontrer qu'un tétraèdre régulier possède 5
sphères chacune tangente aux 6 côtés du tétraèdre et que réciproquement, si un
tétraèdre possède 5 sphères chacune tangente aux 6 côtés du tétraèdre alors ce
tétraèdre est régulier.
( Prove
that a regular tetrahedron has five distinct spheres each tangent to its six extended
edges. Conversely, prove that if a tetrahedron has five such spheres then it is regular)
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Olympiades Internationales de Mathématiques de 1962
(Tchécoslovaquie)