Considérons le repère orthonormé (xyz) d’origine S tel que:

A Î (Sx), B Î (Sy) et CÎ (Sz).

Soit W(a , b , g ), (b) a alors pour équation:

x² + y² + z² -2ax -2by -2gz = 0.

Mais alors nous avons :

A(2a  ; 0 ; 0), B(0 ; 2b  ; 0), et C(0 ; 0 ; 2g).

Soit G le centre de gravité de ABC : G(2a/3 ;2b/3 ;2g/3). D’où :

Vecteur(SG) = (2/3)Vecteur(SW),

mais S et W étant fixes, G aussi, et il s’agit du point recherché.

Exercice N° 2 :

(JK) est un diamètre du cercle (C   ), donc (JM) ^ (KM)  et,

par suite, (JM) // (KM’) et (AM) // (A’M’).

Soit W le point d’intersection de (MM’) avec (AA’).

En appliquant Thalès dans le triangle (WM’A’), nous obtenons:

WM /WM’ = WA /WA’= AM / A’M’ = R/R’.

W est donc le point fixe recherché.