DIMATU

Racine primitive de l'unité

Etant donnés un corps K de caractéristique p et  n un entier non divisible par p. Une racine n^ième de l’unité sur K est un zéro du polynôme P(X) = Xⁿ – 1 de K[X]. Le corps des racines S_n de P est appelé corps des racines n^ième de l’unité sur K.

Les racines n^ième de l’unité sur K forment dans S_n un groupe cyclique d’ordre n, noté G_n(K).

On appelle racine primitive de l’unité d’ordre n les éléments d’ordre n de G_n(K).

Propriété. Si a est une racine primitive de l’unité d’ordre n,
alors a^r (0 < r < n) est une racine primitive de l’unité d’ordre n, si et seulement si r est premier avec n.

a^r est d’ordre n si et seulement si il existe s, divisible par n, tel que (a^r)^s = 1. Mais a est aussi d’ordre n et  a^rs = 1 entraîne que n divise rs. La divisibilité de rs par n doit donc entraîner celle de s par n.

Ce qui revient à dire, dans l’anneau Z/nZ, que la classe de r que je note r’ n’est pas diviseur de zéro.

Il existe donc t tel que r’t’ = 1 soit rt = 1 + bn ce qui équivaut à dire que r et n sont premiers entre eux.

Le nombre de racines primitives de l’unité d’ordre n est donc égal à f(n) indicateur d’Euler.